题目

如图1，已知A,B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AB与反比例函数 的图象交于C、D两点． （1） 当OA=6，OB=3，点D的横坐标为2时，则k=, =. （2） 当OA=a，OB=b时，请猜测AC与BD之间的数量关系，并说明理由. （3） 如图2，以D为顶点且过点O的抛物线分别交函数 的图像和 轴于点E、F，连接CF，设 . ①若∠AFC=90°，则 的值为多少？ ②若∠ACF=90°，且 时，请用含 的代数式表示tan∠BAO的值. 答案： 【1】k=4【2】ACBD=1 BD=AC   理由如下： 方法一(几何法)： 如图1，分别过C、D作两条坐标轴的垂线，N、P、G、H都是垂足 ∵ CN⋅CG=DP⋅DH=k ∴ DHCG=CNDP ∵ CG∥DH，DP∥CN ∴△BHD∽△BGC，△ACN∽△ADP ∴ DHCG=BDBC ， CNDP=ACAD ∴ BDBC=ACAD ∴ BDCD=ACCD ， ∴ BD=AC   方法二(解析法)： ∵A(a,0)、B（0，b） ∴直线AB为 y=−bax+b ∴ {y=−bax+by=kx ∴ −bax+b=kx ∴ bx2−abx+ak=0 ,∴ x1+x=2a ,∴ x1=a−x2 ∵ x1 , x2 为D，C点的横坐标,∴DH= x1 ,AN= a−x2 ∴DH=AN ∵∠BHD=∠CNA=90°，∠BDH=∠CAN ∴△BHD≌△CNA ∴BD=AC ①如图2，作抛物线的对称轴DP，交 x 轴于P，作DH⊥ y 轴H， 则DH=OP=PF= 12 OF，∠BDH=∠CAF. ∵∠AFC=90°,∴∠DHB=∠AFC=90° 由（2）可知BD=CA，∴△BDH≌△CAF，∴AF=DH， ∴AF= 12 OF，∴ m=AFOF=2   ②如图3，作抛物线的对称轴DP，交 x 轴于P，作DH⊥ y 轴H,作CG⊥x轴G 易得OF=2DH=2AG，又 AFOF=m ，∴ AFAG=2m ∵∠ACF=90°，CG⊥AF ∴CG2=AG·FG=AG· (2m−1) AG= (2m−1) AG2 ∴ (CGAG)2=2m−1 ∴tan∠BAO= 2m−1

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