题目

如图，△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）如果∠ACB=75°，⊙O的半径为2，求BD的长．答案：证明：∵OD=OC，∠DOC=90°，∴∠ODC=∠OCD=45°. ∵∠DOC=2∠ACD=90°，∴∠ACD=45°. ∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90° ∵点C在圆O上，∴直线AC是圆O的切线. 解：∵OD=OC=2，∠DOC=90°，∴CD=2 2 . ∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，∴∠BCD=30°. 作DE⊥BC于点E，则∠DEC=90°， ∴DE=DCsin30°= 2 . ∵∠B=45°，∴DB=2.

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