题目

如图1，抛物线与x轴相交于点A（ ，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第一象限内抛物线上一动点，连接AC，BC. （1） 求这条抛物线的解析式及顶点坐标； （2） 过点D作DE⊥BC于点E，求线段DE的最大值； （3） 如图2，若D为抛物线的顶点，连接BD，分别延长AC，BD交于点H，求tan∠CBH的值. 答案： 解：设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x−3) ，将点C（0，3）代入解析式中， 得 3=a(0+1)(0−3) ， 解得 a=-1 故抛物线的解析式为 y=−(x+1)(x-3)=−x2+2x+3 . 由抛物线顶点的意义知，在对称轴位置取得顶点坐标 由解析式知， a=−1 ， b=2 ∵对称轴 x=−b2a=1 ， 将 x=1 代入抛物线解析式中得： y==−12+2×1+3=4 ∴顶点（1，4）. 解：如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，DF交BC于点G， 由B（3，0），C（0，3）， ∴OC=OB，∠COB=90° ∴∠CBO=45°. ∴∠DGE=∠BGF=∠CBO=45°. ∴DE=DG•sin45°= 22DG . ∴当DG取得最大值时，DE的值最大. 设直线BC的解析式为 y=kx+b ∵直线BC经过B（3，0），C（0，3） ∴ {0=3k+b3=b 解得 {k=−1b=3 ∴直线BC的解析式为 y=−x+3 ， 设点D的横坐标为m， 则 DF=−m2+2m+3 ， GF=−m+3 . ∴ DG=DF−GF=−m2+3m=−(m−32)2+94 . ∴当 m=32 时，DG的最大值为 94 . ∴DE的最大值为 22DG=22×94=928 . 解：如图2，过点H作HN⊥x轴于点N. 设直线AC的解析式为 yAC=k1x+b1 ∵直线AC经过点A（ −1 ，0），点C（0，3） {0=−1k1+b13=b1 解得 {k1=3b1=3 ∴ yAC=3x+3 . 同理得 yDB=−2x+6 . 又∵H为直线AC与直线BD的交点 令 −2x+6=3x+3 ，得 x=35 . ∴ H(35,245) . 由A（ −1 ，0），B（3，0），C（0，3）， H(35,245) ，易求得AB=4， AC=10 ，AH= 8105 . ∴ ACAB=104 ， ABAH=4:8105=104 ， ∴ ACAB=ABAH . 又∠BAC=∠HAB，  ∴△ABC∽△AHB，  ∴∠AHB=∠ABC=45°， ∵∠ACB=∠AHB+∠CBH=∠BCO+∠ACO ， 又∠AHB=∠BCO=45°， ∴∠CBH=∠ACO，  ∴tan∠CBH=tan∠ACO= AOCO=13 .

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