题目

如图，反比例函数的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB= ．（1）求k的值；（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由. 答案：解：由已知条件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB= 32 ，∴ ABOB=32 ．∴AB=3． ∴A点的坐标为（2，3）． ∴k=xy=6．解：∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，∴点E的纵坐标为 32 ．又∵点E在双曲线 y=6x 上，∴点E的坐标为（4， 32 ）．设直线AE的函数表达式为 y=k1x+b ，则 {2k1+b=34k1+b=32 ，解得 {k1=−34b=92 ． ∴直线AE的函数表达式为 y=−34x+92 ．解：结论：AN=ME．理由：在表达式 y=−34x+92 中，令y=0可得x=6，令x=0可得y= 92 ． ∴点M（6，0），N（0， 92 ）．解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3， ∴NF=ON－OF= 32 ． ∴根据勾股定理可得AN= 32 ． ∵CM=6－4=2，EC= 32 ， ∴根据勾股定理可得EM= 32 ． ∴AN=ME．解法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2， ∵ S△EOM=12OM·EC=12×6×32=92 S△AON=12ON·AF=12×92×2=92 ， ∴ S△EOM=S△AON ， ∵AN和ME边上的高相等， ∴AN=ME．

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