题目

如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1． （1） 求a，b的值； （2） 点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM//OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3） 在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR//MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标． 答案： 解：∵y=﹣x+4与x轴交于点A，∴A（4，0），∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，∴B（1，3），∵抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），∴ {16a+4b=0a+b=3 ，解得： {a=−1b=4 ，∴a=﹣1，b=4； 解：方法一：如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，∵B（1，3），A（4，0），∴OD=1，BD=3，OA=4，∴AD=3，∴AD=BD，∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAD=45°，∴∠PNF=∠ANC=45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，∴NF=PF=t，∵∠PFM=∠ECM=90°，∴PF//EC，∴∠MPF=∠MEC，∵ME//OB，∴∠MEC=∠BOD，∴∠MPF=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴ BDOD = MFPF =3，∴MF=3PF=3t，∵MN=MF+FN，∴d=3t+t=4t；方法二：延长MP交x轴于点M′，作M′N′//MN交AB于N′，延长FP交M′N′于F′，∵M′N′//MN，∴△PMN∽△PM′N′，∴ PFMN=PF'M'N'=td ，∵O（0，0），B（1，3），∴KOB=3，∵PM//OB，∴KPM=KOB=3，则lPM：y=3x+b，设P（p，﹣p+4），则b=4﹣4p，∴lPM：y=3x+4﹣4P，把y=0代入，∴x= 4p−43 ，∴M′（ 4p−43 ，0），∵N′x=M′x，把x= 4p−43 代入y=﹣x+4，∴y= 16−4p3 ，∴N′（ 4p−43 ， 16−4p3 ），∴M′N′= 16−4p3 ，∵PF′⊥M′N′，∴PF′=p﹣ 4p−43 = 4−p3 ，∴ td=14 ． 解：方法一：如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，∴S△PMN= 12 MN×PF= 12 ×4t×t=2t2，∵∠CAN=∠ANC，∴CN=AC，∴S△ACN= 12 AC2，∵S△ACN=S△PMN，∴ 12 AC2=2t2，∴AC=2t，∴CN=2t，∴MC=MN+CN=6t，∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，∴M（4﹣2t，6t），由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x，将M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x2+4x得：﹣（4﹣2t）2+4（4﹣2t）=6t，解得：t1=0（舍），t2= 12 ，∴PF=NF= 12 ，AC=CN=1，OC=3，MF= 32 ，PN= 22 ，PM= 102 ，AN= 2 ，∵AB=3 2 ，∴BN=2 2 ，作NH⊥RQ于点H，∵QR//MN，∴∠MNH=∠RHN=90°，∠RQN=∠QNM=45°，∴∠MNH=∠NCO，∴NH//OC，∴∠HNR=∠NOC，∴tan∠HNR=tan∠NOC，∴ RHHN = CNOC = 13 ，设RH=n，则HN=3n，∴RN= 10 n，QN=3 2 n，∴PQ=QN﹣PN=3 2 n﹣ 22 ，∵ON= CN2+OC2 = 10 ，OB= OD2+BD2 = 10 ，∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，∵PM//OB，∴∠OBN=∠MPB，∴∠MPB=∠BNO，∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，∴∠BRN=∠MQP，∴△PMQ∽△NBR，∴ PQRN = PMBN ，∴ 32n−2210n = 10222 ，解得：n= 27 ，∴R的横坐标为：3﹣ 2×37 = 157 ，R的纵坐标为：1﹣ 27 = 57 ，∴R（ 157 ， 57 ）．方法二：设M（t，﹣t2+4t），N（t，﹣t+4），∴MN=﹣t2+4t+t﹣4=﹣t2+5t﹣4，∴PF= 14 （﹣t2+5t﹣4），∴S△PMN= 12×14 （﹣t2+5t﹣4）2= 18 （t﹣4）2（t﹣1）2，∵KAB=﹣1，∴∠OAB=45°，∴CA=CN=4﹣t，∴S△ACN= 12 （t﹣4）2，∵S△ACN=S△PMN，∴ 18 （t﹣4）2（t﹣1）2= 12 （t﹣4）2，∴t1=﹣1，（舍），t2=3，∴M（3，3），∵MX=NX=3，∴N（3，1），∴ON= 10 ，∵B（1，3），∴OB= 10 ，∴OB=ON，∠OBN=∠ONB，∵OB//MP∴∠OBN=∠QPM，∴∠ONB=∠QPM，∠RQA=45°，∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∴∠BRN=∠MQP，∴△BRN∽△MQP，∴ BNNR=PMPQ ，∵KPM=3，M（3，3），∴lPM：y=3x﹣6，∵lAB：y=﹣x+4，∴P（2.5，1.5），设R（3t，t），∴Q（3t，﹣3t+4），∴ (1−3)2+(3−1)2(3t−3)2+(t−1)2=(3−2.5)2+(3−1.5)2(3t−2.5)2+(3t−2.5)2 ，∴t1= 57 ，t2= 157 （舍），∴R（ 157 ， 57 ）．

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