题目

如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是 的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB． （1） 求证：AC是⊙O的切线； （2） 已知CD＝4，CA＝6， ①求CB的长； ②求DF的长． 答案： 证明：连结AD，如图， ∵E是 BD⌢ 的中点， ∴ DE⌢ ＝ EB⌢ ， ∴∠EAB＝∠EAD， ∵∠ACB＝2∠EAB， ∴∠ACB＝∠DAB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAC+∠ACB＝90°， ∴∠DAC+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°， ∴AC⊥AB， ∴AC是⊙O的切线； 解：①在Rt△ACB中， ∵cosC＝ ACBC ＝ CDAC ＝ 23 ，AC＝6， ∴BC＝9． ②作FH⊥AB于H， ∵BD＝BC﹣CD＝5，∠EAB＝∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB， ∴FD＝FH，设FB＝x，则DF＝FH＝5﹣x， ∵FH∥AC， ∴∠HFB＝∠C， 在Rt△BFH中， ∵cos∠BFH＝cos∠C＝ 23 ＝ FHBF ， ∴ 5−xx ＝ 23 ， 解得x＝3，即BF的长为3， ∴DF＝2

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