题目

抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C．（1）如图1，若A（－1，0），B（3，0）， ① 求抛物线的解析式； ② P为抛物线上一点，连接AC，PC，若∠PCO=3∠ACO，求点P的横坐标；（2）如图2，D为x轴下方抛物线上一点，连DA，DB，若∠BDA+2∠BAD=90°，求点D的纵坐标. 答案：解：①把A（－1，0），B（3，0）代入 y=−x2+bx+c 得： {−1−b+c=0−9+3b+c=0 ，解得： {b=2c=3 ， ∴ y=−x2+2x+3 ②延长CP交x轴于点E，在x轴上取点D使CD=CA，作EN⊥CD交CD的延长线于N． ∵CD=CA ，OC⊥AD，∴ ∠DCO=∠ACO． ∵∠PCO=3∠ACO，∴∠ACD=∠ECD，∴tan∠ACD=tan∠ECD， ∴ AICI=ENCN ，AI= AD×OCCD=610 ， ∴CI= CA2−AI2=810 ，∴ AICI=ENCN=34 ．设EN=3x，则CN=4x． ∵tan∠CDO=tan∠EDN， ∴ ENDN=OCOD=31 ，∴DN=x，∴CD=CN-DN=3x= 10 ， ∴ x=103 ，∴DE= 103 ，E( 133 ，0)． CE的直线解析式为： y=−913x+3 ， {y=−139x+3y=−x2+2x+3 −x2+2x+3=−913x+3 ，解得： x1=0，x2=3513 ．点P的横坐标 3513 ．解：作DI⊥x轴，垂足为I． ∵∠BDA+2∠BAD=90°，∴∠DBI+∠BAD=90°． ∵∠BDI+∠DBI=90°，∴∠BAD=∠BDI． ∵∠BID=∠DIA，∴△EBD∽△DBC，∴ BIID=IDAI ， ∴ xD−xB−yD=−yDxD−xA ， ∴ yD2=xD2−(xA+xB)xD+xAxB ．令y=0，得： −x2+bx+c=0 ． ∴ xA+xB=b，xAxB=−c ，∴ yD2=xD2−(xA+xB)xD+xAxB=xD2−bxD−c ． ∵ yD=−xD2+bxD+c ， ∴ yD2=−yD ，解得：yD=0或－1． ∵D为x轴下方一点， ∴ yD=−1 ， ∴D的纵坐标－1 ．

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