题目

如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1） 求证：四边形EFDG是菱形； （2） 探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由； （3） 若AG=6，EG=2 ，求BE的长． 答案： 证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形 解：EG2= 12 GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF= 12 GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴ DFAF=FODF ，即DF2=FO•AF．∵FO= 12 GF，DF=EG，∴EG2= 12 GF•AF 解：如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2= 12 GF•AF，AG=6，EG=2 5 ，∴20= 12 FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2 5 ，AF=10，∴AD= AF2−DF2 =4 5 ．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴ GHAD=FGAF ，即 GH45 = 410 ．∴GH= 855 ．∴BE=AD﹣GH=4 5 ﹣ 855 = 1255

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