题目

已知：如图①，AD为⊙O的直径，点A为优弧的中点，延长BO交AC于点E． （1） 求证：∠BAC＝2∠ABE； （2） 若△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的度数； （3） 如图②，若弦BC垂直平分半径OD，连接DE交BC于点F，DF＝a，EF＝k•DF，S△BEF＝1，M、N、P分别为直线BD、BF、DF上的三个动点，求△MNP周长的最小值． 答案： 证明：连接OC，∵A是BC⌢的中点，∴BA⌢=CA⌢，∴AB=AC，∠AOC=∠AOB，∵OA=OA，OB=OC，∴△AOB≌△AOC，∴∠OAB=∠OAC，∵OA=OB，ABO=∠OAB，∴∠BAC=∠2∠ABO 解：设∠OBA=x，则∠BAC=2x，∠ACB=90°-x，∠BEC=3x，当BC=BE时，∠BEC=∠ACB，即3x=90°-x，∴x=22.5°，∴∠BCE=90°-22.5°=67.5°；当BC=EC时，∠CBE=∠BEC=3x，则∠BCE=∠CBE+∠OBA=4x=∠ABC，∴3x+3x+4x=180°，∴x=18°，∠BCE=70°；BE≠EC，∴当∠BCE=72°或67.5°时，△BEC是等腰三角形； 解：设OD与BC交于H，过点E作EG⊥AD于点G，设⊙O的半径为r，∵弦BC垂直平分半径OD，∴OB=BD，OH=DH=12r，∴OB=OD=BD，∴△OBD是等边三角形，∴∠OBH=∠DBH=∠CAD=30°，∴BH=OHtan30°=32r，∵AD为⊙O的直径，点A为优弧BC⌢的中点，∴AD⊥BC，BH=CH，∴∠BAC=2∠CAD=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，∵EG⊥AD，AD⊥BC，∴GE∥BC，∴∠AEG=∠ACB=60°，∠OBH=∠OEG=30°，∴∠AEO=∠AEG+∠GEO=90°，OE=12OA=12r，OG=OE·sin30°=14r，GE=OGtan30°=3r4，∵GE∥BC，∴△DHF∽△DGE，∴DHDG=HFGE=DFDE，∴12rr+14r=HF3r4=DFDE，解得HF=3r10，∴DFDE=25，∴k=32，∵S△BEF＝1，∴12BF⋅GH=1，即12(32r+310r)⋅(12r+14r)=1，解得：r²=4093，∴S△BDE=12(32r+310r)⋅(r+14r)=53，设B点到DE的距离为d，在Rt△DEG中，DE=(r+14r)2+(34r)2=74r，∴12×74r⋅d=53，∴d=4037r，如图2，作P点关于BF，BD的对称点P1，P2，连接BP1，BP2，P1M，P2N，则BP1=BP=BP2，P1M=MP，P2N=NP，∴PM+PN+MN=P1M+MN+P2N，当P1，P2，M，N四点在一条直线上时，△MNP周长最小为P1P2的长，∵∠DBF=30°，∴∠P1BP2=2∠DBF=60°，∴△P1BP2是等边三角形，∴P1P2最短时，是点B到DE的最短距离d，∴△MNP周长的最小值为d=4037r=27037

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