题目

如图，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，点A的坐标为（4，0），点D在边AB上，且tan∠AOD＝ ，点E是射线OB上一动点，EF⊥x轴于点F，交射线OD于点G，过点G作GH∥x轴交AE于点H. （1） 求B，D两点的坐标； （2） 当点E在线段OB上运动时，求∠HDA的大小； （3） 以点G为圆心，GH的长为半径画⊙G.是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标. 答案： 解：∵A（4，0）， ∴OA＝4， ∵四边形OABC为正方形， ∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°， ∴B（4，4）， 在Rt△OAD中，∠OAD＝90°， ∵tan∠AOD＝ 12 ， ∴AD＝ 12 OA＝ 12 ×4＝2， ∴D（4，2） 解：如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90° ∴tan∠GOF＝ GFOF ＝ 12 ，即GF＝ 12 OF， ∵四边形OABC为正方形， ∴∠AOB＝∠ABO＝45°， ∴OF＝EF， ∴GF＝ 12 EF， ∴G为EF的中点， ∵GH∥x轴交AE于H， ∴H为AE的中点， ∵B（4，4），D（4，2）， ∴D为AB的中点， ∴DH是△ABE的中位线， ∴HD∥BE， ∴∠HDA＝∠ABO＝45° 解：①若⊙G与对角线OB相切， 如图2，当点E在线段OB上时， 过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG＝ 2 x， OF＝EF＝2 2 x， ∵OA＝4， ∴AF＝4﹣2 2 x， ∵G为EF的中点，H为AE的中点， ∴GH为△AFE的中位线， ∴GH＝ 12 AF＝ 12 ×（4﹣2 2 x）＝2﹣ 2 x， 则x＝2﹣ 2 x， 解得：x＝2 2 ﹣2， ∴E（8﹣4 2 ，8﹣4 2 ）， 如图3，当点E在线段OB的延长线上时， x＝ 2 x﹣2， 解得：x＝2+ 2 ， ∴E（8+4 2 ，8+4 2 ）； ②若⊙G与对角线AC相切， 如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M， 过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x， EG＝FG＝ 2 x， OF＝EF＝2 2 x， ∵OA＝4， ∴AF＝4﹣2 2 x， ∵G为EF的中点，H为AE的中点， ∴GH为△AFE的中位线， ∴GH＝ 12 AF＝ 12 ×（4﹣2 2 x）＝2﹣ 2 x， 过点G作GQ⊥AC于点Q，则GQ＝PM＝3x﹣2 2 ， ∴3x﹣2 2 ＝2﹣ 2 x， ∴ x=42+27 ， ∴ E(42+167,42+167) ； 如图5，当点E在线段OM上时， GQ＝PM＝2 2 ﹣3x，则2 2 ﹣3x＝2﹣ 2 x， 解得 x=42−27 ， ∴ E(16−427,16−427) ； 如图6，当点E在线段OB的延长线上时， 3x﹣2 2 ＝ 2 x﹣2， 解得： x=42−27 （舍去）； 综上所述，符合条件的点为（8﹣4 2 ，8﹣4 2 ）或（8+4 2 ，8+4 2 ）或 (42+167,42+167) 或 (16−427,16−427) .

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