题目

如图，已知抛物线 （k为常数，且k大于0与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线第一象限的图象上，且 . （1） 若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式； （2） 在（1）的条件下，设F是线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点M从点B出发，沿线段 以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到点D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少，最少用时是多少？ 答案： 解：抛物线 y=k8(x−2)(x+4) ， 令y=0，得， (x−2)(x+4)=0 解得x=2或x=-4， ∴A（-4，0），B（2，0）. ∴AO=4 过D作DE⊥x轴于点E， ∴OE=5，AE=AO+OE=4+5=9 ∵ ∠BAD=30° ∴ DE=AE·tan30∘=9×33=33 ∴点D（5，3 3 ） 又点D在抛物线 y=k8(x−2)(x+4) 上， ∴ k8(5−2)(5+4)=33 ， ∴k= 839 . ∴抛物线的函数表达式为：y= 39 （x-2）（x+4）. 即y= 39 x2+ 239 x- 839 ； 解：由（1）知：D（5，3 3 ）， 如图，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3 3 ，ON=5，AN=4+5=9， 过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DAB=30°. 过点F作FG⊥DK于点G，则FG= 12 DF. 由题意，动点M运动的路径为折线BF+DF，运动时间：t=BF+ 12 DF， ∴t=BF+FG，即运动的时间值等于折线BF+FG的长度值. 由垂线段最短可知，折线BF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段. 过点B作BH⊥DK于点H，则t最小=BH，BH与直线AD的交点，即为所求之F点. 设直线AD的解析式为 y=kx+b 把（-4，0），（5，3 3 ）代入得， {−4k+b=05k+b=33   解得， {k=33b=433 ∴直线AD解析式为： y=33x+433 ， ∵B点横坐标为2， ∴ y=233+433=23 ， ∴F（2，2 3 ）. ∴HF=BH-BF= 33−23=3 ∴ FD=23 综上所述，当点F坐标为（2，2 3 ）时，点M在整个运动过程中用时最少，为 23÷1+23÷2=23+3=33 （秒）.

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