题目

如图， 是 的弦，C为 上一点，过点C作 的垂线与AB的延长线交于点D，连接 并延长，与 交于点E，连接EC， . （1） 求证：CD是 的切线； （2） 若 ， ，求 的半径. （3） 在（2）的条件下，在线段AD上有一点P，连接 、 ，则 的最小值为. 答案： 证明：连接OC，如图： ∵OE=OC， ∴∠OEC=∠OCE， ∴∠BOC=∠OEC+∠OCE=2∠OEC， ∵ ∠ABE=2∠E ， ∴ ∠ABE=∠BOC ， ∴AD∥OC， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∵C为 ⊙O 上一点， ∴CD是 ⊙O 的切线； 解：连接AC、BC，作OF⊥AB于点F，如图： ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BCE=90°， ∴∠OCE+∠OCB=90°， ∵∠OCB+∠BCD=90°， ∴∠BCD=∠OCE， ∴∠BCD=∠E， ∵∠A=∠E， tanE=12 ，BD=1， ∴ CDAD=BDCD=12 ， ∴CD=2，AD=4， ∴AB=3. ∵OF⊥AB，AB是弦， ∴四边形OCDF是矩形，则OF=CD=2， 由垂径定理，则 BF=AF=32 ， 在直角△OBF中，由勾股定理，则 OB=OF2+BF2=22+(32)2=52 ； ∴ ⊙O 的半径为 52 ； 【1】3989

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