题目

如图，直线y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．答案：解：把（a，3）代入 y =－ 6x ，得 3=−6a ，解得a=－2 解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°， ∴∠DAO+∠AOD=90°， ∵直线y=kx与双曲线 y =－ 6x 交于A、B两点，∴OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°， ∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC， ∴△ADO≌△OEC，又k=－ 32 ，由y=－ 32 x和y=－ 6x 解得 {x1=−2y1=3 ， {x2=2y2=−3 ，所以A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，所以C（-3，-2）；解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°， ∴∠DAO+∠AOD=90°， ∵直线y=kx与双曲线 y =－ 6x 交于A、B两点，∴OA=OB， ∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°， ∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC， ∴△ADO∽△OEC， ∴ ADOE=ODCE=AOOC ， ∵∠ACO= 12 ∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴ AOOC=tan30°=33 ， ∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－ 33 n，OD=－ 33 m， ∴A（ 33 n，－ 33 m），代入y=－ 6x 中，得mn=18.

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