题目

已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t（s）． （1） 当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式； （2） 当t=2s时，求tan∠QPA的值； （3） 当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值； （4） 连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式． 答案： 解：当t=1s时，则CP=2， ∵OC=3，四边形OABC是矩形， ∴P（2，3），且A（4，0）， ∵抛物线过原点O， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx， ∴ {4a+2b=316a+4b=0 ，解得 {a=−34b=3 ， ∴过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=﹣ 34 x2+3x； 解：当t=2s时，则CP=2×2=4=BC，即点P与点B重合，OQ=2，如图1， ∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3， ∴tan∠QPA= AQAP = 23 ； 解：当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2， 则CP=2t，OQ=t， ∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t， ∵PC∥OA， ∴△PBM∽△QAM， ∴ BPAQ = BMAM ，且BM=2AM， ∴ 2t−44−t =2，解得t=3， ∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s； 解：当0≤t≤2时，如图3， 由题意可知CP=2t， ∴S=S△PCQ= 12 ×2t×3=3t； 当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4， 由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t﹣4，AQ=4﹣t， 同（3）可得 BPAQ = BMAM = 2t−44−t ， ∴BM= 2t−44−t •AM， ∴3﹣AM= 2t−44−t •AM，解得AM= 12−3tt ， ∴S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣ 12 ×t×3﹣ 12 ×（4﹣t）× 12−3tt =24﹣ 24t ﹣3t； 当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5， 由题意可知OQ=t，AQ=t﹣4， ∵AB∥OC， ∴ AMOC = AQOQ ，即 AM3 = t−4t ，解得AM= 3t−12t ， ∴BM=3﹣ 3t−12t = 12t ， ∴S=S△BCM= 12 ×4× 12t = 24t ； 综上可知S= {3t(0≤t≤2)24−24t−3t(2<t≤4)24t(t>4) ．

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