题目

已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E． （1） 如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED•EA=EC•EB； （2） 如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC= ，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积； （3） 如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC= ，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示） 答案： 解：如图1中，∵∠ADC=90°，∠EDC+∠ADC=180°，∴∠EDC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EDC=∠ABC，∵∠E=∠E，∴△EDC∽△EBA，∴ EDEB = ECEA ，∴ED•EA=EC•EB． 解：如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．在Rt△CDF中，cos∠ADC= 35 ，∴ DFCD = 35 ，∵CD=5，∴DF=3，∴CF= CD2−DF2 =4，∵S△CDE=6，∴ 12 •ED•CF=6，∴ED= 12CF =3，EF=ED+DF=6，∵∠ABC=120°，∠G=90°，∠G+∠BAG=∠ABC，∴∠BAG=30°，∴在Rt△ABG中，BG= 12 AB=6，AG= AB2−BG2 =6 3 ，∵CF⊥AD，AG⊥EB，∴∠EFC=∠G=90°，∵∠E=∠E，∴△EFC∽△EGA，∴ EFEG = CFAG ，∴ 6EG = 463 ，∴EG=9 3 ，∴BE=EG﹣BG=9 3 ﹣6，∴S四边形ABCD=S△ABE﹣S△CDE= 12 （9 3 ﹣6）×6 3 ﹣6=75﹣18 3 ． 解：如图3中，作CH⊥AD于H，则CH=4，DH=3，∴tan∠E= 4n+3 ，作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a，∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a，∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E=∠F，易证△AFG∽△CEH，∴ AGCH = FGEH ，∴ 4a5+n−3a = 4n+3 ，∴a= n+5n+6 ，∴AD=5a= 5(n+5)n+6 ．

查看本题答案和解析