题目

如图1，抛物线y= x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C，OC=OB=10。 （1） 求抛物线的表达式； （2） 点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ=180°，设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n的函数关系式； （3） 如图2，在(2)的条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于点E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED=2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 答案： 解：∵OC= OB=10， ∴B (10，0)，C (0， -10) ， ∴ {25+10b+c=0c=−10 ∴ {b=−32c=−10 ∴y= 14 x2- 32 x-10 解：过点C作CHvx轴， 作PG⊥CH于G，作QH⊥CH于点H， ∴∠QHC=∠PGC=90°， ∵∠OCP+∠OCQ=180°，∠0CP+∠1= 180°， ∴∠OCQ=∠1， ∴∠QCH=∠PCG， ∴tan∠QCH=tan∠PCG， ∴ QHCH=PGCG ∵Q(m， 14 m2- 32 m-10)， P(n， 14 n2- 32 n- 10)， ∴ (14m2−32m−10)−(−10)m=(−10)−(14n2−32n− 10))n ∴m=-n+12 解：解法一：由y= 14 x2- 32 x-10可得： A(-4，0)， 过点P作PL⊥x轴于点L， ∵△AOD∽△ALP， ． ∴ PLAL=ODOA ∴ (14n2−32n−10)n−(−4)=OD4 ∴OD=10- n， ∵tan∠BQE= BEEQ=10−m−(14m2−32m−10)=4m+4 以OA为边作正方形ASRO，连接ES、SD，过点S作ST⊥ED于点T ∵tan∠AES= ASAE=4m+4 ∴∠AES=∠EQB， ∴当∠4ED=2∠EQB时， ES平分∠AED，∴SA=ST=SR=4， ． ∴SD平分∠RDT， ∴△AES≌ATES，△SRD≌△STD， ． ∵TE=AE=m+4=-n+16，DT=DR=10-n-4=6-n， ∴DE=TE-TD=-n+16-(6-n)=10， 在Rt△EOD中，DE2=OD2+OE2， ． ∵OE=m=-n+12， ∴102= (10-n) 2+ (12-n) 2， 解得： m1=4，m2=18 (舍去)， ∴点P (4，-12) 解法二：由y= 14 x2- 32 x-10可得： A(-4，0) ， 过点P作PL⊥x轴于点L， ∵△AOD∽△ALP ∴ PLAL=ODOA ∴ (14n2−32n−10)n−(−4)=OD4 ∴OD=10- n， ∵tan∠BQE= BEEQ=10−m−(14m2−32m−10)=4m+4 ∴tan∠AED=tan2∠BQE= 2×4m+41−(4m+4)2=8(m+4)m2+8m ∴设直线DE为： y= 8(m+4)m2+8m x+b， 将E(m，0)代入得： b= −8(m+4)m+8 ∵m=-n+12， ∴b= −8n+128n−20 ∴OD= 8n−128n−20 ∴10-n= 8n−128n−20 解得：n1=4，n2=18 (舍去)， ∴点P(4，-12)

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