题目

在圆 中，弦 与 相交于点 ，且弧 与弧 相等.点 在劣弧 上，连接 并延长交线段 于点 ，连接 、 . （1） 求证： ∽ ； （2） 当 ，且 时，如果 是直角三角形，求线段 的长. 答案： 证明：如图，连接 BC ，   ∵ 弧 AC 与弧 BD 相等， ∴∠ECB=∠EBC ， ∵OB=OC ， ∴∠OCB=∠OBC ， ∴∠OCD=∠OBA ， ∵OA=OB ， ∴∠OAB=∠OBA ， ∴∠OAB=∠OCD ，又 ∠CFE=∠AFO ， ∴△OFA ∽ △EFC . 解： ① 当 ∠AFO=90° 时， ∵OA=5 ， tan∠OBA=12 ， ∴OC=OA=5 ， OF=5 ， AB=45 ， ∴EF=CF⋅tan∠ECF=CF⋅tan∠OBA=5+52 . ② 当 ∠AOF=90° 时， ∵OA=OB ， ∴∠OAF=∠OBA ， ∴tan∠OAF=tan∠OBA=12 ， ∵OA=5 ， ∴OF=OA⋅tan∠OAF=52 ， ∴AF=552 ， ∵∠OAF=∠OBA=∠ECF ， ∠OFA=∠EFC ， ∴△OFA ∽ △EFC ， ∴EFOF=OC+OFAF=355 ， ∴EF=355OF=352 ， 即： EF=352 或 5+52 .

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