题目

如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为 上任意一点．若AE=AC=2n ， BC=n2－1，BE=n2－2n+1 ．(n≥2，且n为正整数) ． （1） 求证：∠CAE+∠CDE=90°； （2） ①如图2，当CD过圆心O时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF ， 连接DF ， 请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若n=3，求AD的长． 答案： 证明： ∵AE=2n,BE=n2−2n+1 ， ∴AB=AE+BE=n2+1 ， ∵AC2+BC2=(2n)2+(n2−1)2=n4+2n2+1 ， AB2=(n2+1)2=n4+2n2+1 ， ∴AC2+BC2=AB2 ， ∴∠ACB=90° ， ∴∠CAB+∠ABC=90° ， ∵∠ABC=∠CDE ， ∴∠CAB+∠CDE=90° ， 即 ∠CAE+∠CDE=90° ； 解：①补全图形如图3所示； CD、DE、DF之间的数量关系是： CD2+DE2=DF2 ，理由如下： 如图 3，由旋转的性质得： ∠AEF=∠ACD,EF=CD ， 由（1）得： ∠CAE+∠CDE=90° ， ∵∠ACD+∠AED+∠CAE+∠CDE =360° ， ∴∠ACD+∠AED= 270° ， ∵∠AED+∠AEF+∠DEF=360° ， ∴∠DEF=90° ， ∴DE2+EF2=DF2 ， ∴ DE2+CD2=DF2 ； ②当 n=3 时， AC=6, BC=8,AB=10 ， 如图4，过点C作 CH⊥AB ，垂足为H， 则由△ABC的面积可得： CH=AC·BCAB=6×810=245 ， ∴AH=62−(245)2=185,HE=6−185=125 ， ∴CE=CH2+HE2=(245)2+(125)2=1255 ， ∵CD是直径，∴∠CED=90°， ∵CE⌢=CE⌢ ， ∴∠CDE=∠ABC ， ∴sin∠CDE=sin∠ABC ， ∴CECD=ACAB ，即： 1255CD=610 ，解得 CD=45 ， ∴ DE=CD2−CE2=(45)2−(1255)2=1655 ， ∴DF=DE2+EF2=DE2+CD2=(1655)2+(45)2=42055 ， ∵ACAD=AEAF ， ∠CAE=∠DAF ， ∴ΔACE∼ΔADF ， ∴ACAD=CEDF ， ∴AD=AC•DFCE=6×420551255=241 ．

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