题目

我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为 ”.如图，在 中， ，如果 ，那么 . 请你根据上述命题，解决下面的问题： （1） 如图1， ， 为格点，以 为圆心， 长为半径画弧交直线 于点 ，则 ； （2） 如图2， 、 为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）。 作 ，使点 在直线 上，并且 ， . （3） 如图3，在 中， ， ， 为 内一点， ， 于 ，且 . ①求 的度数； ②求证： . 答案： 【1】30 解：如图△DEF即为所求． 解：①∵CE⊥AD于E，且CE= 12 AC ∴∠CAD=30° ②作DH⊥BC于H． ∵∠AEC=90°，∠CAE=30° ∴∠ACE=60°， ∵AD=AC， ∴∠ACD=∠ADC=75°， ∴∠DCF=∠DCH=15°， ∵∠CED=∠CHD=90°，CD=CD， ∴△CDE≌△CDH（AAS）， ∴CE=CH= 12 AC= 12 BC， ∴BH=CH，∵DH⊥BC， ∴DB=DC．

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