题目

如图，已知 ，相似比为 ，且 的三边长分别为a、b、c ， 的三边长分别为 、 、 . （1） 若 ，求证： ； （2） 若 ，试给出符合条件的一对 和 ，使得a、b、c和 、 、 .都是正整数，并加以说明； （3） 若 ， ，是否存在 和 使得 ？请说明理由. 答案： 证明： ∵ΔABC∽ △ A1B1C1 ，且相似比为 k(k>1) ， ∴ aa1=k ， a=ka1 ； 又 ∵c=a1 ， ∴a=kc ； 解：取 a=8 ， b=6 ， c=4 ，同时取 a1=4 ， b1=3 ， c1=2 ； 此时 aa1=bb1=cc1=2 ， ∴△ABC∽ △ A1B1C1 且 c=a1 ； 解：不存在这样的 △ABC 和△ A1B1C1 ，理由如下： 若 k=2 ，则 a=2a1 ， b=2b1 ， c=2c1 ； 又 ∵b=a1 ， c=b1 ， ∴a=2a1=2b=4b1=4c ； ∴b=2c ； ∴b+c=2c+c=3c ， 4c=a ， ∴ b+c<a ， 而应该是 b+c>a ； 故不存在这样的 △ABC 和△ A1B1C1 ，使得 k=2 .

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