题目

如图，将一副直角三角板拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△ ， 交AC于F点，若AB＝6 . （1） 求CD的长； （2） 求证： ； （3） 设点P是线段上异于A、C的一动点，点P在何处时，DP＋EP的值最小，并求出这个最小值. 答案： 解：在Rt△ACB中，∵∠BAC ＝45°，AB ＝ 62    ∴AC＝ ABcos∠BAC=62cos45° =12 在Rt△ACD中，∵∠ACD ＝30°，cos∠ACD＝ ACCD   ∴CD＝AC÷cos30°＝12÷ 32 ＝ 83 （cm） 证明：∵将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E   ∴△ADE ≌ △AD′E   ∴AD＝AD′ ∵点E为CD边上中点  ∴AE＝CE＝DE，∠ACD＝∠EAC＝30°  在Rt△ACD中，∵∠ACD ＝30°  ∴AD＝CE＝DE，∠DEA＝60° ∴AE＝ AD′，∠FAD′＝30°， ∴∠EAF＝∠FAD′ 在△AEF和△AD′F中 {AE=AD′∠EAF=∠D′AFAF=AF ∴△AEF ≌ △AD′F（SAS） 解：在Rt△ACD中，∵∠ACD ＝30°，AC＝12  ∴∠ADC ＝60° ，AD＝AE＝ 43  ∴△ADE是等边三角形 ∴AD＝AE＝DE＝ 43   ∵将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E ∴△AD′E也是等边三角形 又由（2）知 ∠EAC＝30° ∴∠EFA＝90° ∴点E与点D′关于直线AC对称 连接DD′交AC与点P，可得DD′⊥AE ∴此时DP＋EP的值最小，且DP＋EP＝DD′ ∴DD′＝ 2×12AD×3=2×6=12 ，即DP＋EP的值最小为12cm.

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