题目

如图，是等腰直角三角形，AD是其斜边BC上的高，点E是AD上的一点，以CE为边向上作等边 ， 连接BF． （1） 如图1，求的度数； （2） 连接AF，如图2，若 ， BF与AC交于点G．①证明：AF2=AGAB；②若BC=2，求FG的长． 答案： 解：如图，连接BE，∵△ABC是等腰直角三角形，AD是其斜边BC上的高，∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AD垂直平分BC，∴BE=CE，∠CAD=45°，∴∠EBC=∠ECB，∵△CEF是等边三角形，∴CE=EF=CF，∠ECF=∠EFC=60°，∴BE=EF，∴∠EBF=∠EFB，在△BCF中，∠EBC+∠EBF+∠ECB+∠EFB+∠ECF+∠EFC=180°，∴2∠CBF+60°+60°=180°，解得∠CBF=30°． ①证明：∵EF∥AB，∠BAC=90°，∴AC⊥EF，∵△CEF是等边三角形，∴AC垂直平分EF，∠ACF=12∠ECF=30°，∴AE=AF，∴∠CAF=∠CAD=45°，∴∠CAF=∠ACB，∴AF∥BC，∴∠AFG=∠CBF=30°，∴∠AFG=∠ACF，在△AGF和△AFC中，{∠AFG=∠ACF∠FAG=∠CAF，∴△AGF∼△AFC，∴AFAC=AGAF，∴AF2=AG⋅AC，又∵AB=AC，∴AF2=AG⋅AB；②解：∵△ABC是等腰直角三角形，AD是其斜边BC上的高，且BC=2，∴AD=CD=12BC=1，AC=AD2+CD2=2，设AF=AE=x(x>0)，由①已证：∠CAF=∠CAD=45°，∴∠EAF=90°，∴EF=AE2+AF2=2x，∴CF=2x，由①已证：△AGF∼△AFC，∴AFAC=FGCF，即x2=FG2x，解得FG=x2，∵∠CBF=30°，∠ACB=45°，∠ACF=30°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=75°，∠BFC=180°−∠CBF−∠BCF=75°，∴∠BCF=∠BFC，∴BF=BC=2，∴BG=BF−FG=2−x2，由①已证：AF∥BC，∴△AFG∼△CBG，∴AFBC=FGBG，即x2=x22−x2，解得x=−1+3或x=−1−3<0（舍去）或x=0（舍去），经检验，x=−1+3是所列方程的解，则FG=x2=(−1+3)2=4−23．

查看本题答案和解析