题目

（阅读理解）如图1，在平面直角坐标系中，直线 的函数关系式 ， ， 是直线 上任意两个不同的点，过点 、 分别作 轴、 轴的平行线交于点 ，则线段 ，于是有 ，即 的值仅与 的值有关，不妨称 为直线 的“纵横比”.   （1） （直接应用） 直线 的“纵横比”为，直线 的“纵横比”为. （2） （拓展提升） 如图2，已知直线 与直线 互相垂直，请用“纵横比”原理以及相关的几何知识分析 与 的关系，并加以证明. （3） （综合应用） 如图3，已知点 ， 是 轴上一动点，线段 绕着点 按逆时针方向旋转 至线段 ，设此时点 的运动轨迹为直线 ，若另一条直线 ，且与 有且只有一个公共点，试确定直线 的函数关系式. 答案： 【1】2【2】12 解：如下图 P2过作y轴平行线交 l' 于P3，在P1P2上找一点H，过H作x轴的平行线交 l' 于P4，得∠P3P2M与∠P1P2G互余 由 l' ⊥l得∠MP3P2与∠P1P2G互余 ∴∠MP3P2=∠P1P2G ∴△P3HP4∽△P2GP1 ∴ P3HP2G=P4HP1G ∴ P3HP4H⋅P1GP2G=1 又由“纵横比”的意义得 P3HP4H=|m| ， P1GP2G=|k| ∴ |km|=1 又∵ k>0 ， m<0 ∴ km=−1 . 解：点 B 的运动轨迹为直线 l .取其上特殊两点，如下图 由题意知，当P在坐标原点时易知动点B坐标为D(0,8), 当P在点(0,-8)时，动点 B坐标为E(-8,0)； ∴直线l的“纵横比”为 DOBO=88=1 ∴直线l关系式的一次项系数为1 又∵ m⊥l ，利用（2）的结论知直线m关系式的一次项系数为-1 所以可设m关系式为： y=−x+b （b为待定的常量）它和 y=2x 的交点满足方程组 {y=−x+by=2x 消去 y 并整理得 x2−bx+2=0 ，由于直线m与 y=2x 有且只有一个公共点 ∴一元二次方程 x2−bx+2=0 有两相等实根 ∴ b2−4×2=0 ，解之得 b=±22 直线m如下图所示 所以直线m的关系式为： y=−x+22 或 y=−x−22 .

查看本题答案和解析