题目

综合题       （1） 如图1，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，连DE，求证：DF•DA=DB•DC； （2） 如图2，若∠BAC=90°，AD⊥BC于D，F为线段AD上一点，在AD延长线上找一点G使AD2=DF•DG，请画出图形找出点G并加以证明； （3） 如图3，在（1）的条件下，若∠ABC=45°，EF=1，EC=3，直接写出BD长． 答案： 解：证明：如图1中，∵AD、AE是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△DBF∽△DAC，∴ BDAD = DFDC ，∴DF•DA=DB•DC． 解：如图2中，在DC上截取DM，使得DM=DA，连接FM、AM，作MN⊥FM交AD的延长线于G．则AD2=DF•DG．理由：∵∠MDF=∠MDG=∠FMG=90°，∴∠DMF+∠DMG=90°，∠DMG+∠G=90°，∴∠DMF=∠G，∴△DMF∽△DGM，∴ DMDG = DFDM ，∴DM2=DF•DG，∵AD=DM，∴AD2=DF•DG． 解：如图3中，连接FC．∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，∴BD=AD，∵∠DBF=∠CAD（已证），∠BDF=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC，∴DF=DC，在Rt△EFC中，FC= EF2+EC2 = 12+32 = 10 ，∴DF=DC= 5 ，设BD=AD=y，则AC= AD2+DC2 = 5+y2 ，∵△EAF∽△DAC，∴ AFAC = EFDC ，∴ y−55+y2 = 15 ，解得y=2 5 或 52 （舍弃），∴BD=2 5 ．

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