题目

如图， 与 的斜边 相切于点 ，与直角边 相交于 两点，连接 ， . （1） 求证: ； （2） 若 ， ， ，求线段 的长度. 答案： 证明:∵ ⊙O 与斜边 AB 相切于点 D ， ∴ OD⊥AB ， ∴ ∠ODE+∠EDA=90° . 在 Rt△ABC 中， ∠A+∠B=90° ， ∵ ∠ODE=∠A ， ∴ ∠B=∠EDA ， ∴ DE//BC 解：∵ DE//BC ， ∴ DE⊥AC ，即 ∠DEC=90° ， ∴ DF 是 ⊙O 的直径，即延长 DO 过点 F ， ∴ DF=2OD=23, 在 Rt△ADF 中， tanA=FDAD=232=3 ∴ ∠A=60° ， ∴ ∠AFD=30° ， ∴ EF=DF·sin60°=3,AF=2AD=4 ， 又∵ AF=CE, ∴AE=CF=1 ∴ CA=AE+EF+CF=5 ， ∴ BC=AC·tan60°=53 .

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