题目

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在 的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF． （1） 求证：OF= BG； （2） 若AB=4，求DC的长． 答案： 证明：∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，点F恰好落在 "" 的中点， ∴ AF∧=BF∧，∴∠AOF=∠BOF，∵∠ABC=∠ABG=90°，∴∠AOF=∠ABG，∴FO∥BG，∵AO=BO，∴FO是△ABG的中位线，∴FO= 12 BG； 解：在△FOE和△CBE中，{∠FOE=∠CBEEO=BE∠OEF=∠CEB ，∴△FOE≌△CBE（ASA），∴BC=FO= 12 AB=2，∴AC= AB2+BC2 =2 5 ，连接DB，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ACB，∴ BCAC=CDBC ，∴ 225 = DC2 ，解得：DC= 255 ．

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