题目

如图，AC、BD为⊙O的直径，且AC⊥BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交⊙O于M、N． （1） 比较大小：cos∠OPQsin∠OQP； （2） 请你判断与OP·cos∠OPQ之间的数量关系，并给出证明； （3） 当∠APO=60°时，设MQ＝m·MP，NQ=n·NP． ①求m+n的值； ②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝ ， 在Q点的移动过程中，恒为非负数，请直接写出实数c的最大值． 答案： 【1】= 解：过点O作OG⊥MN，交MN于点G ∴GM=GN  ∴MP−NP=(GM+GP)−(GN−GP)=2GP ∵OG⊥MN ∴OP⋅cos∠OPQ=OP×GPOP=GP  ∴MP−NP=2OP⋅cos∠OPQ； 解：点O作OG⊥MN，交MN于点G，连接BN、MD，AP ∵MQ＝m·MP，NQ=n·NP ∴m+n  =MQMP+NQNP =MP−PQMP+NP−PQNP =2+PQ(1NP−1MP) =2+PQ×MP−NPNP×MP 根据（2）的结论，得MP−NP=2GP ∴m+n=2+2PQ×GPNP×MP ∵∠GPO=∠OPQ，∠PGO=∠POQ=90°  ∴△PGO∽△POQ  ∴GPOP=OPPQ，即GP×PQ=OP2  ∵∠BNM=∠BDM，∠BPN=∠MPD  ∴△BNP∽△MDP  ∴NPDP=BPMP ∵OB=OD=OA  ∴NP×MP=BP×DP=(OB−OP)(OD+OP)=OB2−OP2  ∵∠APO=60° ∴tan∠APO=OAOP=3  ∴OA=3OP  ∴OB=3OP  ∴NP×MP=OB2−OP2=2OP2 ∴m+n=2+2×PQ×GPNP×MP=2+2×OP22OP2=3； ②实数c的最大值为22．

查看本题答案和解析