题目

如图，在中， ， ， 厘米，点P从点A出发沿线路AB—BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC—CB作匀速运动逐步靠近点P，设P，Q两点运动的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒 ， 它们在t秒后于BC边上的某一点相遇. （1） 求出AC与BC的长度； （2） 试问两点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？ （3） 若以D，E，C为顶点的三角形与相似，试分别求出a与t的值.（ ， 结果精确到0.1） 答案： 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝12厘米，∴AC＝2AB＝24（厘米）.BC＝3AB＝123（厘米）. 解：E点不会是BC的中点.在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么BE＝t﹣12，CE＝at﹣12，∵a＞1，∴at﹣12＞t﹣12.∴E点不会是BC的中点. 解：若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，当过D点作DE1∥AB，交CB于E1，如图，∴∠CDE1＝∠B＝90°，∵∠C＝∠C∴△DCE1∽△ACB∴CE1CB=CDAC=12 ∴E点是BC的中点.但CE1＝at﹣12，BE1＝t﹣12，∵a＞1，故at﹣12＞t﹣12，即CE1＞BE1，与E点是BC的中点矛盾，当过D点作DE2⊥AC，交CB于E2，如图，∵∠CD E2＝∠B＝90°，∠C＝∠C∴△DCE2∽△BCA∴CE2AC=CDBC=12123=33 ，∴CE2＝24×33＝83，依题意得，{t−12=123−83at−12=83 ，解得{t=12+43≈18.9a=3+12≈1.4.∴t＝18.9秒，a＝1.4厘米/秒.

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