题目

如图，AB为⊙O的直径，CB ， CD分别切⊙O于点B ， D ， CD交BA的延长线于点E ， CO的延长线交⊙O于点G ， EF⊥OG于点F ． （1） 求证：∠FEB＝∠ECF； （2） 若BC＝6，DE＝4，求EF的长． 答案： 证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D， ∴OC平分∠BCE，即∠ECO＝∠BCO，OB⊥BC， ∴∠BCO+∠COB＝90°， ∵EF⊥OG， ∴∠FEB+∠FOE＝90°， 而∠COB＝∠FOE， ∴∠FEB＝∠ECF； 解：连接OD，如图， ∵CB，CD分别切⊙O于点B，D， ∴CD＝CB＝6，OD⊥CE， ∴CE＝CD+DE＝6+4＝10， 在Rt△BCE中，BE＝ 102−62 ＝8， 设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝8﹣r， 在Rt△ODE中，r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3， ∴OE＝8﹣3＝5， 在Rt△OBC中，OC＝ 62+32 ＝3 5 ， ∵∠COB＝∠FOE， ∴△OEF∽△OCB， ∴ EFBC=OEOC ，即 EF6=535 ， ∴EF＝2 5 ．

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