题目

如图，直线y= x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段OA上运动（点P与点A不重合，且PA≤ )。以P为圆心，PA为半径作⊙P交线段AB于另一点C，过点C作⊙P的切线交y轴于点D。 （1） 求线段AB的长； （2） 求证：DB=DC； （3） 设点P(x，0)，线段BD的长为y。 ①求y关于x的函数关系式； ②当BD·AC的值最大时，求点D的坐标。 答案： 解：对于直线y=- 34 x+6， 当x=0时，y=6；当y=0时，x=8， ∴点A(8，0)，B(0，6)， ∴AB= 62+82 =10 证明：如图，连接PC， ∵过点C作⊙Ｐ的切线交y轴于点D， ∴PC⊥DC， ∴∠DCB+∠PCA=90°， ∵∠BOA=90°， ∴∠PAC+∠DBC=90°， ∵PA=PC，∴∠PCA=∠PAC ∴∠DCB=∠DBC， ∴DB=DC 解：①如图，作PM⊥AC于Ｍ，DN⊥AB于N， ∵PA=PC，DC=DB， ∴AM=CM，CN=BN， ∵cos∠PAC= 45 ， cos∠DBN= 35 ， ∴AM=CM= 45 PA，BN=CN= 12 (10- 85 PA)， ∴BD= 53 BN= 53  (5- 45 PA)= 253−43 PA= 253−43 (8-x)= 43x−73 ， ∴y关于x的函数表达式为y= 43x−73 ②由①可得，AC=2AM= 85 (8-x)， ∴BD·AC=( 43x−73 )· 85  (8-x)= −3215(x−398)2+1256 ∴当x= 398 时，BD·AC的值最大， 此时BD=y= 43×398−73=256 ， ∴点D的纵坐标为6- 256 = 116 ∴点D的坐标为(0， 116 )

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