题目

如图1，△ABC中，∠B＝30°，点D在BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE，交AC于点F.若∠EFC＝60°，DE＝2AC，求 的值.某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠C与∠D存在某种数量关系”； 小强：“通过构造三角形，证明三角形相似，进而可以求得 的值. 老师：如图2，将原题中“点D在BA的延长线上，点E在BC边上”改为“点D在AB边上，点E在BC的延长线上”，添加条件“BC＝5 ，EC＝4 ”，其它条件不变，可求出△BED的面积. 请回答： （1） 用等式表示∠C、∠D的数量关系并证明； （2） 求 的值； （3） △BDE的面积为（直接写出答案）. 答案： 解：结论：∠C+∠D＝90°. 理由：如图1中， ∵∠AFD=∠EFC=60°， ∵∠BAC＝180°﹣∠C﹣30°＝150°﹣∠C，∠BAC＝∠AFD+∠D＝60°+∠D， ∴150°﹣∠C＝60°+∠D， ∴∠C+∠D＝90° 解：过点A作AG⊥BC垂足为G，交DE点Q，过点E作EH⊥BD垂足为H，则∠DHE＝∠BHE＝90°. ∵∠AGC＝90°， ∴∠DHE═∠AGC. ∵∠C+∠D＝90°， ∠C+∠CAG＝90°. ∴∠D＝∠CAG， ∴△DEH∽△ACG. ∴ DHAG=DEAC=2ACAC=2 . ∴DH＝2AG. ∵∠B＝30°，∠AGB＝90°， ∴AB＝2AG. ∴AB＝DH. ∴AB﹣AH＝DH﹣AH. 即BH＝AD. 在Rt△BHE中， BHBE ＝cos30°＝ 32 . ∴ ADBE ＝ BHBE ＝ 32 【1】183

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