题目

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE． （1） 求证：AC平分∠DAB； （2） 求证：PC＝PF； （3） 若tan∠ABC＝ ，AB＝14，求线段PC的长． 答案： 证明：∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥PD， 又∵AD⊥PD， ∴OC∥AD， ∴∠ACO＝∠DAC． ∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠CAO， 即AC平分∠DAB 证明：∵AD⊥PD， ∴∠DAC+∠ACD＝90°． 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠PCB+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠PCB． 又∵∠DAC＝∠CAO， ∴∠CAO＝∠PCB． ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠BCF， ∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF， ∴∠PFC＝∠PCF， ∴PC＝PF 解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P， ∴△PAC∽△PCB， ∴ PCPB=APPC ． 又∵tan∠ABC＝ 43 ， ∴ ACBC=43 ， ∴ PCPB=43 ， 设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7， ∵PC2+OC2＝OP2， ∴（4k）2+72＝（3k+7）2， ∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）． ∴PC＝4k＝4×6＝24．

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