题目

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F.点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC＝∠D. （1） 求证：直线AE是⊙O的切线. （2） 若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝ ，CF＝ ，求BF的长. 答案： 证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵∠D＝∠B，∠EAC＝∠D， ∴∠EAC＝∠B，∴∠EAC+∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°， ∴BA⊥AE，  ∵BA过O，  ∴直线AE是⊙O的切线 如图，作FH⊥BC于点H， ∵∠BAD＝∠BCD，cos∠BAD＝ 34 ，  ∴cos∠BCD ＝ 34 ， 在Rt△CFH中，∵CF＝ 103    ∴CH＝CF·cos∠BCD＝ 103 × 34 ＝ 52 ， ∵BC＝4，  ∴BH＝BC－CH＝4－ 52 ＝ 32 ， ∵AB是⊙O的直径，  ∴∠BCA＝90°，  ∵∠BAC＝30°，  ∴∠B＝60°， ∴BF＝ BHcos60° ＝ 3212 ＝3

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