题目

如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC. （1） 求证：CD是⊙O的切线； （2） 若AD=6，tan∠DCB= ，求CE的长. 答案： 证明：连接OC，OE，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°， 又∵∠DCB=∠CAD， ∵OA=OC， ∴∠CAD=∠1， ∴∠1=∠DCB， ∴∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°， ∴CD是⊙O的切线； 解：∵EA、EC为⊙O的切线， ∴EC=EA，OE⊥AC， ∴∠BAC=∠OEA（等角的余角相等）， ∴∠DCB=∠OEA. ∵tan∠DCB= 23 ， ∴tan∠OEA= OAAE=23 ， ∵Rt△DCO∽Rt△DAE， ∴ CDDA=OCAE=OAAE=23 ， ∴CD= 23 ×6=4， 在Rt△DAE中，设AE=x， ∴ (x+4)2=x2+62 ， 解得 x=52 . 即AE的长为 52 .

查看本题答案和解析