题目

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm.动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止.过点E作EF∥AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）. （1） 直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长； （2） 在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； （3） 设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积. 答案： 解： BE=(t+4)cm ， EF=58(t+4)cm 解：分三种情况讨论： ①当 DF=EF 时， 有 ∠EDF=∠DEF=∠B, ∴点 B 与点 D 重合， ∴ t=0. ②当 DE=EF 时, ∴ 4=58(t+4) , 解得： t=125. ③当 DE=DF 时, 有 ∠DFE=∠DEF=∠B=∠C, ∴△DEF∽△ABC. ∴ DEAB=EFBC ,即 410=58(t+4)16 , 解得： t=15625 . 综上所述，当 t=0 、 125 或 15625 秒时，△ DEF 为等腰三角形 解：设P是AC的中点，连接BP， ∵ EF ∥ AC, ∴△ FBE ∽△ ABC . ∴ EFAC=BEBC, ∴ ENCP=BEBC. 又 ∠BEN=∠C, ∴△ NBE ∽△ PBC, ∴ ∠NBE=∠PBC. ∴点 N 沿直线BP运动，MN也随之平移. 如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形. ∵ M 、 N 分别是 DF 、 EF 的中点，∴ MN ∥DE，且ST=MN= 12DE=2. 分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形， 当t=0时，EF= 58 （0+4）= 52, TK= 12 EF· sin∠DEF=12 · 52 · 35=34; 当t=12时，EF=AC=10，PL= 12 AC· sinC=12 ·10· 35=3. ∴PR=PL-RL=PL-TK=3- 34=94. ∴ S▱PQST=ST ·PR=2× 94=92. ∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为 92 cm2.

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