题目

一台晚会上有 个演唱节目和 个舞蹈节目．求： （1） 当 个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ （2） 当要求每 个舞蹈节目之间至少安排 个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？ 答案： 解：先将 4 个舞蹈节目看成 1 个节目，与 6 个演唱节目一起排，则是 7 个元素全排列的问题，有 P77=7!=7×6×5×4×3×2×1=5040 （种）方法．第二步再排 4 个舞蹈节目，也就是 4 个舞蹈节目全排列的问题，有 P44=4!=4×3×2×1=24 （种）方法．根据乘法原理，一共有 5040×24=120960 （种）方法． 解：首先将 6 个演唱节目排成一列（如下图中的“□”），是 6 个元素全排列的问题，一共有 P66=6!=6×5×4×3×2×1=720 （种）方法． ×□×□×□×□×□×□× 第二步，再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或 2 个演唱节目之间（即上图中“×”的位置），这相当于从 7 个“×”中选 4 个来排，一共有 P74=7×6×5×4=840 （种）方法． 根据乘法原理，一共有 720×840=604800 （种）方法．

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