题目

随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起，高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式，如图A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道由A地到O地，再由O地到B地可大大缩短路程、∠OAC＝45°，∠OBC＝60°，∠ACB＝90°，AC＝540公里，BC＝400公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据： ≈1.7， ≈1.4， ≈2.4） 答案：解：过点O作OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E， 设BE＝x公里，则OD＝CE＝400﹣x（公里）， ∴CD＝OE＝BE•tan∠OBE＝x•tan60°＝ 3 x， AD＝ ODtan∠OAD=400−xtan45∘=400−x ， ∵AD+CD＝AC＝540， ∴ 3 x+400﹣x＝540， ∴x＝70 3 +70， ∴BE＝70 3 +70，OE＝70 3 +210，AD＝OD＝330﹣70 3 ， ∴AO＝ 2AD=3302−706 ， OB＝ BE2+OE2=1403+140 ， ∴AO+OB＝330 2 ﹣70 6 +140 3 +140＝672， AC+CB＝540+400＝940， 940﹣672＝268， 答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短268公里.

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