题目

在 中， ， .点 是 内一点.连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， . （1） 观察猜想，如图1，当 时，求 的值. （2） 类比探究，如图2，当 时，求 的值. （3） 解决问题，如图3，当 时，若点 在 的平分线上，请直接写出点 ， ， 在同一直线上时 与 的值. 答案： 解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC，∠ABC＝60°， 由旋转可知，PB＝PD，∠BPD＝60°， ∴△PBD是等边三角形， ∴BP＝BD，∠PBD＝∠ABC＝60°， ∴∠ABP＝∠CBD， ∴△BCD≌△BAP（SAS）， ∴CD＝PA， ∴ CDAP=1 . 解：∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝90°， ∴△ABC，△PCD都是等腰直角三角形， ∴CB＝ 2 BA，BD＝ 2 BP，∠ABC＝∠PBD＝45°， ∴∠CBD＝∠ABP， BCAB ＝ BDBP ， ∴△BCD∽△BAP， ∴ CDPA ＝ BCAB ＝ 2 . 解：作AE⊥BC于E，AF⊥BD于F，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°， ∴∠ABC＝∠PBD＝30°， BE=EC=12BC ， cos∠ABC=BEAB=32 ， BE=32AB ， BC=3AB ，同理 BD=3BP ， ∵∠ABC＝∠PBD， ∴∠CBD＝∠ABP， ∵ BCAB ＝ BDBP=3 ， ∴△BCD∽△BAP， ∴ CDPA ＝ BCAB ＝ 3 . ∵点 P 在 ∠ABC 的平分线上， ∴∠ABP＝∠PBC=15°， ∴∠DBC=15°， ∴∠ABD＝45°，设 BF=AF=a ，则 AB=2a ， AD=2a ， DF=AD2−AF2=3a ， BD=BF+DF=(3+1)a ∵ BDBP=3 ， ∴ BP=PD=(3+1)a3=(3+3)a3 ， ∵点 A ， P ， D 在同一直线上, ∴ AP=AD−PD=(3−3)a3 ， ∵ CDPA=3 ， ∴ CD=(3−1)a ， CDBP=(3−1)a(3+3)a3=23−3 .

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