题目

（1） 【基础巩固】 如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG． （2） 【尝试应用】 如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求 的值． （3） 【拓展提高】 如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．   答案： 证明：∵DE∥BC， ∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF． ∴ DGBF=AGAF，EGCF=AGAF ∴DGBF=EGCF ∵BF=CF， ∴DG= EG． 解：由(1)得DG=EG， ∵CG⊥DE， ∴CE=CD=6． ∵AE=3， ∴AC=AE+CE=9． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． ∴ DEBC=AEAC=13 解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N． 在▱ABCD中， BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°． ∵EG∥BD， ∴由(1)得ME=GE， ∵EF⊥EG， ∴FM=FG=10， ∴∠EFM=∠EFG． ∵∠EGF=40° ， ∴∠EFG=50°． ∵FG平分∠EFC， ∴∠EFG=∠CFG=50° ， ∴∠BFM= 180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°． ∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=5 3 ， ∵∠MBN=45°，MN⊥BN， ∴BN= MN=5， ∴BF=BN+FN=5+ 53．

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