题目

如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题： （1） 求点N的坐标（用含x的代数式表示） （2） 设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？ （3） 在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB=OA2+AB2=42+32=5，作NP⊥OA于P，如图1所示：则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴PNAB=OPOA=ONOB，即PN3=OP4=1.25x5，解得：OP=x，PN=34x，∴点N的坐标是（x，34x） 解：在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=34x，∴S=12OM•PN=12（4﹣x）•34x=﹣38x2+32x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣38x2+32x（0＜x＜4），配方得：S=﹣38（x﹣2）2+32，∵﹣38＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是32 解：存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴OMOA=ONOB，即4-x4=1.25x5，解得：x=2；②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴OMOB=ONOA，即4-x5=1.25x4，解得：x=6441；综上所述：x的值是2秒或6441秒．

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