题目

如图，在平面直角坐标系中，点A(m，n)（m＞0）在双曲线y＝ 上. （1） 如图1，m＝1，∠AOB＝45°，点B正好在y＝ （x＞0）上，求B点坐标； （2） 如图2，线段OA绕O点旋转至OC，且C点正好落在y＝ 上，C(a，b)，试求m与a的数量关系. 答案： 解：∵点A(m，n)在双曲线y= 4x 上，且m=1， ∴ n=4m=4 ， ∴点A的坐标为(1，4)， 作AG⊥OA交直线OB于点G，作GE⊥y轴于E，作AF⊥y轴于F，作AD⊥ x 轴交GE于点D，如图所示： ∵点A的坐标为(1，4)， ∴FA=1，FO=4， ∵AG⊥OA，∠AOB=45°， ∴△AOG为等腰直角三角形， ∴AO=AG， ∵∠FAO+∠OAD=∠DAG+∠OAD=90°， ∴∠FAO=∠DAG， ∴Rt△FAO ≅ Rt△DAG， ∴FO= DG=4，FA=DA=1， ∵GE⊥y轴， AF⊥y轴，AD⊥ x 轴，FA=DA=1， ∴四边形ADEF为正方形， ∴FA=DA= DE=EF=1， ∴GE=DE+DG=5，EO=FO-EF=3， ∴点G的坐标为(5，3)， 设直线OG的解析式为 y=kx ， 把点G的坐标为(5，3)代入得： k=35 ， ∴直线OG的解析式为 y=35x ， 解方程组 {y=35xy=4x ， 得： {x=2315y=2515 (负值已舍)， ∴点B的坐标为( 2315 ， 2515 )； 解：根据题意：A(m， 4m )，C(a， 4a )， ∵OA2=OC2， ∴m2+ 16m2 = a 2+ 16a2 ， 整理得：(m2-a2)(1- 16m2a2 )=0，( m+a )( m−a )( 1+4ma )(  1−4ma )=0， ∵ m≠a ， ∴ m+a=0 或 ma=4 ， ma=−4 .

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