题目

在 中， ， ， 是 上一点，连接 （1） 如图1，若 ， 是 延长线上一点， 与 垂直，求证： （2） 过点 作 ， 为垂足，连接 并延长交 于点 . ①如图2，若 ，求证： ②如图3，若 是 的中点，直接写出 的值（用含 的式子表示） 答案： 延长 AM 交 CN 于点 H ， ∵ AM 与 CN 垂直， ∠ABC=90° ， ∴ ∠BAM+∠N=90° ， ∠BCN+∠N=90° ， ∴ ∠BAM=∠BCN ， ∵ n=1 ， ∠ABC=90° ， ∴ AB=BC ， ∠ABC=∠CBN ， ∴ ΔABM≅ΔCBN ， ∴ BM=BN ①过点 C 作 CD∥BP 交 AB 的延长线于点 D ， ∵ BP⊥AM ，∴ AM 与 CD 垂直， 由(1)，得 BM=BD ， ∵ CD∥BP ， ∴ CPPQ=DBBQ ，即 CPPQ=BMBQ ； ②过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，延长AM交CD于点H， ∴∠PCH=∠BPQ， ∵ BP⊥AM ，∴ AM ⊥ CD ， ∴∠BPM=∠CHM=90°， 又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM， ∴△BPM≌△CHM， ∴BP=CH，PM=HM， ∴PH=2PM， ∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°， ∴△ABM∽△BPM， ∴ PMPB=BMAB ， 在Rt△PCH中，tan∠PCH= PHCH ， ∴tan∠BPQ= PHCH=2PMPB=2BMAB ， 又∵BC=2BM， ABBC=n ， ∴tan∠BPQ= BCAB=1n .

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