题目

如图1， 内接于 ,AD是直径， 的平分线交BD于H，交 于点C，连接DC并延长，交AB的延长线于点E.     （1） 求证： ； （2） 若 ，求 的值 （3） 如图2，连接CB并延长，交DA的延长线于点F，若 ，求 的面积. 答案： 证明：∵AD是 ⊙O 的直径 ∴∠ACD=∠ACE=90° ∵AC平分 ∠BAD ∴∠DAC=∠EAC 在△ACD和△ACE中， ∵∠ACD=∠ACE，AC=AC，∠DAC=∠EAC ∴△ACD≌△ACE（ASA） ∴AE=AD 解：如图，连接OC交BD于G， ∵BEAB=32 ，设 BE=3x,AB=2x ， 则 AD=AE=AB+BE=5x ，OC= 12 AD= 52x ∵∠DAC=∠EAC ∴BC⌢=CD⌢ ∴OC垂直平分BD 又∵O为AD的中点 ∴OG为△ABD的中位线 ∴OC∥AB，OG= 12AB=x ，CG= OC−OG=52x−x=32x ∴△ABH∼△CGH ∴AHHC=ABCG=2x32x=43 解：如图，连接OC交BD于G， 由（2）可知：OC∥AB，OG= 12 AB ∴∠BHA=∠GCH 在△BHA和△GHC中， ∵∠BHA=∠GCH，AH=CH，∠BHA=∠GHC ∴△BHA≅△GHC(ASA) ∴ CG=AB 设 OG=m ，则 CG=AB=2m, OA=OC=3m 又 ∵OC//AB ， ∴ △FAB∼△FOC ∴FAFO=ABOC ∴66+3m=2m3m ∴m=1 ， ∴AB=2,AD=6,BE=4 ∵AD是 ⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90° BD=AD2−AB2=62−22=42 ∴S△EBD=12EB⋅BD=12×4×42=82 又 ∵△ACD≅△ACE, ∴EC=CD ∴S△BEC=12S△EBD=12×82=42

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