题目

如图，在 中， ，动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，设运动时间为 秒（ ），连接 ． （1） 若 与 相似，求 的值； （2） 当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值． 答案： 解：∵在 RtΔABC 中， ∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60° ， ∴ ∠B=30° ， ∴ AB=2AC=10，BC=53 ， 分两种情况： ①当 ΔMBN∼ΔABC 时， MBAB=BNBC ，即 2t10=53−3t53 ，解得 t=52 ； ②当 ΔNBM∼ΔABC 时， MBBC=BNAB ，即 2t53=53−3t10 ，解得 t=157 ． 综上所述，当 t=52 或 157 时， ΔMBN 与 ΔABC 相似； 解：过点 M 作 MD⊥BC 于点 D ，则 MD//AC ， ∴ ΔBMD∼ΔBAC ， ∴ MDAC=BMAB ，即 MD5=2t10 ，解得 MD=t ． 设四边形 ACNM 的面积为 y ， y=12×5×53−12(53−3t)t=32(t−2.5)2+7538 ． ∴当 t=2.5 时， y 取得最小值，最小值为 7538 ．

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