题目

已知： 内接于⊙ ，连接 并延长交 于点 ，交⊙ 于点 ，满足 ． （1） 如图1，求证： ； （2） 如图2，连接 ，点 为弧 上一点，连接 ， = ，过点 作 ，垂足为点 ，求证： ； （3） 如图3，在（2）的条件下，点 为 上一点，分别连接 ， ，过点 作 ，交⊙ 于点 ， ， ，连接 ，求 的长． 答案： 证明：如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α． ∵∠BEC=∠BAC+∠ACD， ∴∠BAC=2α， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠D=90°-α， ∴∠B=∠D=90°-α， ∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-2α-（90°-α）=90°-α． ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC． 证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD． ∵ CF⌢ = BD⌢ ， ∴DB=CF， ∵∠DBA=∠DCA，CZ=BD，AB=AC， ∴△ADB≌△AZC（SAS）， ∴AD=AZ， ∵AG⊥DZ， ∴DG=GZ， ∴CG=CZ+GZ=BD+DG=CF+DG． 解：连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T． ∵CP⊥AC， ∴∠ACP=90°， ∴PA是直径， ∵OR⊥PC，OK⊥AC， ∴PR=RC，∠ORC=∠OKC=∠ACP=90°， ∴四边形OKCR是矩形， ∴RC=OK， ∵OH:PC=1: 2 ， ∴可以假设OH= 2 a，PC=2a， ∴PR=RC=a， ∴RC=OK=a，sin∠OHK= a2a=22 ， ∴∠OHK=45°． ∵OH⊥DH， ∴∠DHO=90°， ∴∠DHA=180°-90°-45°=45°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ADH=90°-45°=45°， ∴∠DHA=∠ADH， ∴AD=AH， ∵∠COP=∠AOD， ∴AD=PC， ∴AH=AD=PC=2a， ∴AK=AH+HK=2a+a=3a， 在Rt△AOK中，tan∠OAK= OKAK=13 ，OA= AK2+OK2=a2+(3a)2=10a ， ∴sin∠OAK= OKAO=1010 ， ∵∠ADG+∠DAG=90°，∠ACD+∠ADG=90°， ∴∠DAG=∠ACD， ∵AO=CO， ∴∠OAK=∠ACO， ∴∠DAG=∠ACO=∠OAK， ∴tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK= 13 ， ∴AG=3DG，CG=3AG， ∴CG=9DG， 由（2）可知，CG=DG+CF， ∴DG+12=9DG， ∴DG= 32 ，AG=3DG=3× 32 = 92 ， ∴AD= DG2+AG2=(32)2+(92)2=3102 ， ∴PC=AD= 3102 ． ∵sin∠F=sin∠OAK， ∴sin∠F= CTFC=1010 ， ∴CT= 1010×FC=1010×12=6105 ， FT= =FC2−CT2=122−(6105)2=18105 ， PT= PC2−CT2=(3102)2−(6105)2=91010 ， ∴PF=FT-PT= 18105−91010=271010 ．

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