题目

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D. （1） 求证：PD是⊙O的切线. （2） 若tan∠PBA＝ ，AC＝12，求直径AB的长. 答案： 证明：连接 OP ，如图所示. ∵PA=PC ， ∴∠PAC=∠PCA ， 又 ∠PCA 与 ∠B 所对同一段弧 PA⌢ ， ∴∠PCA=∠B=∠PAC . 又 PD//AC ， ∴∠DPA=∠PAC=∠B ， ∵OP=OA ， ∴∠PAO=∠APO . ∵AB 为直径， ∴∠APB=90° ， ∴∠PAO+∠B=90°=∠APO+∠DPA ， 即 ∠DPO=90° ， 又 PO 为半径， 故 PD 是 ⊙O 的切线 解： ∵PD//AC ， ∴∠DPO=∠AEO=90° ， 由垂径定理可知： AE=12AC=6 ， 又 ∠PBA=∠PAC ， ∴tan∠PBA=tan∠PAC=PEAE=13 . ∴PE=13AE=2 . 设 OA=r ，则 OE=OP−PE=r−2 ， 在 RtΔAEO 中，有 AE2+OE2=OA2 ， 即 36+(r−2)2=r2 ，解得： r=10 . 故直径 AB=2OA=2×10=20

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