题目

定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形. （1） 写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是； （2） 如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG=90°，AF=CG. ①求证：EG=DG； ②若BC=n·BG，求n的值； （3） 如图2，在Rt△ABC中， ， ，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD.过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积. 答案： 【1】矩形 解：①证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=CD，∠A=∠C. 又∵AF=CG， ∴△ADF≌△CDG， ∴DF=DG. ∵四边形DEFG是垂等四边形， ∴EG=DF， ∴EG=DG. ②解：如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H， ∴四边形CDHG为矩形， ∴CG=DH. 由①知EG=DG， ∴DH=EH. 由题意知∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD，AF=CG， ∴AB－AF=BC－CG， 即BF=BG， ∴△BFG为等腰直角三角形， ∴∠GFB=45°. 又∵∠EFG=90°， ∴∠EFA=180°－90°－45°=45°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AE=AF=CG， ∴AE=EH=DH， ∴BC=3AE，BG=2AE. ∵BC=n·BG， ∴ n=BCBG=32 . 解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∴四边形CEDF为矩形. ∵ ACBC=2 ， ∴AC=2BC. 在Rt△ABC中， AB=5 ， 根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，即(2BC)2+BC2=5， ∴AC=2，BC=1. ∵四边形ACBD为垂等四边形， ∴ AB=CD=5 . 第一种情况： 当△ACB∽△BED时， ACBC=BEDE=2 ， 设DE=x，则BE=2x， ∴CE=1+2x. 在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2=CD2， 即(1+2x)2+x2=5， 解得 x1=26−25 ， x2=−26−25 （舍去）， ∴ DE=26−25 ， CE=DF=1+2x=46+15 ， ∴S四边形ACBD=S△ACD+S△DCB= 12×2×46+15+12×1×26−25=6 ； 第二种情况： 当△ACB∽△DEB时， ACBC=DEBE=2 ， 设BE=y，则DE=2y， ∴CE=1+y. 在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2=CD2， 即(1+y)2+(2y)2=5， 解得 y1=21−15 ， y2=−21−15 （舍去）， ∴ CE=DF=1+y=21+45 ， DE=2y=221−25 ， ∴S四边形ACBD=S△ACD+S△DCB= 12×2×21+45+12×1×221−25=221+35 . 综上所述，四边形ACBD的面积为 6 或 221+35 .

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