题目

Rt ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD=CA，DE⊥AB． （1） 求证： ． （2） 联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H．求证：CH⊥AB． 答案： 解：∵CA=CD， ∴∠A=∠CDA． ∵∠ACD=90°， ∴∠A+∠B=90°． ∵DE⊥AB， ∴∠CDA+∠CDE=90°， ∴∠B=∠CDE． ∵∠DCE=∠BCD， ∴△DCE∽△BCD， ∴ CDCE=CBCD ． ∵CD=CA， ∴ CACE=CBCA ， ∴ CA2=CB⋅CE 解：∵ CACE=CBCA ，∠ACE=∠BCA， ∴△CAE∽△CBA， ∴∠CEA=∠CAB． ∵∠ACB=90°， ∴∠CEA+∠CAE=90°． ∵M为AE的中点，∠ACE=90°， ∴CM=AM， ∴∠CAE=∠ACM． ∵∠CEA=∠CAB， ∴∠CAB+∠ACM=90°， ∴∠AHC=90°， ∴CH⊥AB．

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