题目

如图，在 中， 是 边中线．延长 至点B，作 的角平分线 ，过点C作 于点F． （1） 求证：四边形 是矩形； （2） 连接 ，若 ，求 的长． 答案： 证明：∵在 △AOC 中， OA=OC ， OD 是 AC 边中线 ∴ OD⊥AC ， OD 平分 ∠AOC （等腰三角形的三线合一） ∴ ∠ODC=90°,∠COD=12∠AOC ∵ OH 平分 ∠COB ∴ ∠COF=12∠COB ∵ ∠AOC+∠COB=180° ∴ ∠COD+∠COF=12∠AOC+12∠COB=12(∠AOC+∠COB)=90° 即 ∠DOF=90° ∵ CF⊥OH ∴ ∠CFO=90° ∴四边形 CDOF 是矩形； 解：如图，连接DF 由（1）知，四边形 CDOF 是矩形 ∴OD=CF=8,OC=DF ∵OD⊥AC ，即 ∠ADO=90° ∴ △AOD 是直角三角形 在 Rt△AOD 中， cosA=ADOA=35 设 AD=3x ，则 OA=5x 由勾股定理得： OD=OA2−AD2=4x=8 解得 x=2 ∴OA=5x=5×2=10 又 ∵OC=OA,OC=DF ∴DF=OA=10 ．

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