题目

如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB = CD，AD = 5，BC = 15， ．E为射线CD上任意一点，过点A作AF // BE，与射线CD相交于点F．联结BF，与直线AD相交于点G．设CE = x， ． （1） 求AB的长； （2） 当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3） 如果 ，求线段CE的长． 答案： 解：分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N． ∵AD//BC，AB=CD，AD=5，BC=15， ∴ BM=12(BC−AD)=12(15−5)=5 ． 在Rt△ABM中，∠AMB=90°， ∴ cos∠ABM=BMAB=5AB=513 ． ∴AB=13． 解：∵ AGDG=y ，∴ AG+DGDG=y+1 ．即得 DG=5y+1 ． ∵∠AFD=∠BEC，∠ADF=∠C．∴△ADF∽△BCE． ∴ FDEC=ADBC=515=13 ． 又∵CE=x， FD=13x ，AB=CD=13．即得 FC=13x+13 ． ∵AD//BC，∴ FDFC=DGBC ．∴ 13x13x+13=5y+115 ． ∴ y=39−2x3x ． ∴所求函数的解析式为 y=39−2x3x ，函数定义域为 0<x<392 ． 解：在Rt△ABM中，利用勾股定理，得 AM=AB2−BM2=12 ． ∴ S四边形ABCD=12(AD+BC)⋅AM=12(5+15)×12=120 ． ∵ S四边形ABEFS四边形ABCD=23 ， ∴ S四边形ABEF=80 ． 设 SΔADF=S ．由△ADF∽△BCE， FDEC=13 ，得 SΔBEC=9S ． 过点E作EH⊥BC，垂足为点H． 由题意，本题有两种情况： （ⅰ）如果点G在边AD上，则 S四边形ABCD−S四边形ABEF=8S=40 ． ∴S=5． ∴ SΔBEC=9S=45 ． ∴ SΔBEC=12BC⋅EH=12×15⋅EH=45 ． ∴ EH=6 ． 由DN⊥BC，EH⊥BC，易得EH//DN． ∴ CECD=EHDN=612=12 ． 又CD=AB=13，∴ CE=132 ． （ii）如果点G在边DA的延长线上，则 S四边形ABCD+S四边形ABEF+SΔADF=9S ． ∴ 8S=200 ．解得 S=25 ． ∴ SΔBEC=9S=225 ． ∴ SΔBEC=12BC⋅EH=12×15⋅EH=225 ．解得 EH=30 ． ∴ CECD=EHDN=3012=52 ． ∴ CE=652 ． ∴ CE=132或652 ．

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